读书笔记
研一断断续续把一些基本的分析的概念翻来覆去的熟悉了一些，总结起来就是H.L.Royden写的实分析（第三版）里面的第2章的全部内容，加上一点点粗浅的泛函的概念（变分的部分都没涉及到）。近来遇到颇多概率论（最优传输距离等），打算再单独看看测度论（工科生学的概率论就不放到博客上了，反正也是用到了就会翻翻）。
勒贝格测度
理想情况下，我们希望测度满足4个性质：
- 对于实数集的每个子集，测度都有定义。就是说测度的定义域是实数集的幂集（power set）；
- 对于区间$I$，希望它的测度就是它的长度（测度才有现实中的对应）；
- 不相交集合的并集的测度等于它们各自测度的加和；
- 测度是平移不变的（比如相同长度的区间移动一下，测出来还是原来的长度）
但是后面会证明上面4条不可能全部满足，有一种办法是把第一条（相比而言，后面三条更加实用，得保留）减弱为测度在尽可能多的集合上有定义。这就引出了$\sigma$代数的定义：一种尽可能多的包括全集的子集的集合簇，但又不是大到如幂集一般无所不包。然后测度就定义在$\sigma$代数上。$\sigma$代数名字本身可以拆成两部分看“\sigma”和“代数”：“\sigma”表示求和，所以会牵扯到可数个集合；“代数”表示代数性质，所以会牵扯到对集合运算的封闭性。具体的定义自行百度。由此又可以给出Borel集的定义：包含所有开集的最小的那个$\sigma$代数。
为了一步一步的发展出良好定义的测度，首先学习“外测度”。
外测度（用时30min）
对于任意一个实数集$A$，可以考虑它的可数开区间簇覆盖（可数开覆盖）$\{I_{n}\}$。考虑这些开区间的长度$l(I_{n})$的加和（由于每个区间长度为正数，所以这个级数唯一且和加和的顺序无关）。$\{I_{n}\}$可能有无数种方案，对应了无数个加和。外测度就是这些加和的下确界：
- 空集，单点集，可数集的外测度都是0；
- 外测度满足前面4条性质中的第二条（书中的一个证明，我就不抄了）；
- 外测度满足可数次加性；
- 任意实数集$A$都能被一个开集$O$稍稍盖住，以至于$O$的外测度比$A$的外测度不会多出$\epsilon$。
习题（用时20min）
只记录一条有意思的习题：令$A=\mathbb{Q}\bigcap[0,1]$（这个集合的外测度为零，因为它可数），令$\{I_{n}\}$为任何一个有限开区间簇（只有有限个开区间），并且$\{I_{n}\}$覆盖了$A$。那么$\sum I_{n}\geq1$。
这条习题有意思的地方就在于$A$的外测度明明为0，但某些开覆盖的对应的长度加和的下确界却是1，这中间矛盾么？我觉得这个习题这样出就是为了让我们意识到这种对比。当然是不矛盾的，题目中加粗的“有限”可以解释这种“矛盾”。如果想要用有限个开区间就盖住0到1间所有的有理数，那这些开区间的总体长度和就会变得很长（大于等于1）；如果放宽条件，允许用无限多个开区间去盖住$A$，那就可以每个有理数都给一个长度无限逼近于0的开区间盖住，并且最后总体长度和可以为0。看了网上的一个证明，觉得这种证明方法没啥意思，在这里写一下：
上面最后一步跳了一下，并且$\overline{A}$表示$A$的闭包，而$A$的闭包就是闭区间$[0,1]$。$\overline{I_{n}}$也是闭包的意思。上面这个证明没有灵魂。待我想一个出来。
写这个博客写了1个小时，妈的。